加州大學聖迭戈分校的數學家Jacques Verstraete 和Sam Mattheus 解決了一個令人費解的拉姆齊理論問題，自從保羅-埃爾德斯（Paul Erdös）在1937 年取得一些突破以來，這個數學問題一直進展甚微。

拉姆齊問題，如r(4,5)，陳述起來很簡單，但如圖所示，可能的解幾乎是無窮無盡的圖/Jacques Verstraete/加州大學聖地亞哥分校

拉姆齊定理（英文：Ramsey’s theorem），又稱拉姆齊二染色定理，斷言對任意正整數k 和l ，若一個聚會的人數n 足夠大，則無論相識關係如何，必定有k 個人相識或l 個人互不相識。在給定k , l 時，保證前述結論的最小n 值稱為拉姆齊數R ( k , l ) ，其值取決於k , l 。用圖論術語複述：若將足夠大的完全圖各邊染紅藍兩色，則不論如何染，必定有紅色的k 階完全圖或藍色的l 階完全圖。

拉姆齊定理是組合數學的重要結論，以弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊命名。他在1930年論文《論形式邏輯的一個問題》證明此定理最初的版本，開創現稱拉姆齊理論的組合理論分支。拉姆齊理論的主題是從“無序”尋找“規律”，希望找出某數學結構中，存在規律子結構的一般條件。在拉姆齊定理的圖論表述中，此「規律子結構」是同色集合（monochromatic set），即頂點集的子集，其中各邊皆染成同一顏色。

拉姆齊理論是以英國數學家和哲學家弗蘭克-P-拉姆齊（Frank P. Ramsey）的名字命名的數字遊戲的一個分支，非常複雜。在這個圖論數學的角落裡，最著名的問題是r(3,3)，通常被稱為朋友和陌生人定理，它假設在一個由六個人組成的小組中，你會發現至少有三個人互相認識，或有三個人互相不認識。顯然，r(3,3)的答案是6。

“這是自然界的事實，是絕對真理。不管情況如何，也不管你選擇哪六個人，你都能找到三個互相認識的人，或者三個互相不認識的人。也許你能找到更多的人，但你能保證至少有三個人在一個小集團或另一個小集團中。”

一旦找到了r(3,3)，數學家們就開始尋找後續問題的答案：r(4,4)、r(5,5)和r(4,t)，在這些問題中，不相連的點的數量各不相同。

數學家發現r(3,3) 的答案是6 之後，又發生了什麼事？自然，他們想知道r(4,4)、r(5,5) 和r(4,t)，其中不相連的點的數目是可變的。在上世紀，艾爾德什和喬治-塞克雷斯發現r(4,4) 的答案是18。同時，r(5,5) 仍然是個未知數。

“很多人都想過r(4,t)–90 多年來，這一直是個懸而未決的問題，”Verstraete 說。”但這不是我研究的重點。每個人都知道這很難，每個人都想把它弄明白，所以除非你有新的想法，否則你不可能取得任何進展。”

雖然從表面上看，這似乎不是那種需要花費近百年才能弄清楚的問題，但在圖論中，外表是會騙人的。例如，在求解r(5,5)時，如果你知道答案介於40 和50 之間，並且從圖形上的45 個點開始，那麼將有10234 個圖形需要研究。

Verstraete解釋說：「因為這些數字很難找到，所以數學家們都在尋找估計值。這就是山姆和我最近的研究成果。『我們如何找到這些拉姆齊數字的最佳估計值，而不是準確答案？'”

Verstraete 第一次意識到r(4,t) 是在《Erdös on Graphs》中： 這本書由加州大學聖地牙哥分校教授Fan Chung 和已故的Ron Graham 合著。這個問題是埃爾德斯提出的一個猜想，他向第一個能解決這個問題的人提供了250 美元。我們可以想像，在20 世紀30 年代，250 美元的獎金可能會比2023年要”豐厚”得多。

雖然Verstraete 在一段時間內一直惦記著r(4,t)，但直到大約四年前，在與另一位數學家研究另一個問題時，他才在偽隨機圖方面取得了突破性進展，從而走上了解決拉姆齊之謎的道路。

2019 年，Verstraete 和那位數學家Dhruv Mubayi 解決了r(3,t)，但僅此而已。直到他與具有有限幾何背景的馬修斯合作，解決下一個問題的夢想才開始看起來有可能成為現實。

“結果證明，我們需要的偽隨機圖可以在有限幾何中找到，”Verstraete 說。「山姆是最合適的人選，他可以幫助我們建立我們所需要的東西。我們花了將近一年的時間，終於找到了r(4,t)的解： 從根本上說，如果要舉辦一個總是有4 個互相認識的人或t 個相互不認識的人參加的派對，那麼大約需要t3 個人參加。(因為不是精確的3，所以是近似值）。”

Verstraete 說：「我們真的花了很多年才解決這個問題。」有很多次我們都被卡住了，不知道我們是否能解決它。但無論花多長時間，我們都不該放棄。”

數學家們沒有透露r(5,5)現在是否已經出現在白板上，因為他們在此期間要等待他們的研究通過同行評審和驗收。

“如果你發現問題很難，而且卡住了，那就說明這是一個好問題，好問題會反擊。你不能指望它自己就顯現出來。”他補充說：”我接到Fan 的電話，說她欠我250 美元。”

可惜的是，遙遠的那筆1930 年代的”找人費”沒有進行通貨膨脹調整。

這項研究正在《數學年鑑》（Annals of Mathematics）雜誌上接受審查。