2024 年9 月24 日，在法國巴黎，聯合國教科文組織總部開啟了全球對中國數學家劉徽的紀念活動。作為本次活動的一部分，國內也進行了相關紀念，並稱劉徽為中國古代數學理論的奠基者。

「九章流徽－中國古典數學理論的主要奠基者劉徽」專題展

身為中國古代最重要的算學家之一，劉徽遍註《九章算術》諸術，並論證其演算法的正確性，又在天文學立表測影的基礎上作《重差》以補《九章算術》勾股章之不足（後命為《海島算經》），成就卓越。數學史家郭書春先生讚其為「古代世界數學泰斗」。不過，由於在正史中沒有傳記，學界歷來對劉徽的數學成就和科學精神談得較多，但對其生平事蹟談得較少。

那麼，劉徽生平究竟怎樣？為什麼地位如此重要但留下的記載如此稀少呢？這又與其成就和品格有何關係呢？本文試圖在既有研究基礎上利用現有資料對其生平事蹟做進一步勾勒。

劉徽的生平

劉徽，三國曹魏間人，生卒年不可考，我們唯一知道的是其在魏景元四年（263 年）註解了《九章算術》。大觀三年（1109）宋廷頒布的「算學典典」中有「魏劉徽淄鄉男」的記載，近人嚴敦傑先生（1917-1988）據此最先推測劉徽是山東省淄鄉人。在此基礎上，郭書春進一步推測淄鄉在今山東省鄒平縣內，劉徽是漢文帝劉恆之子梁孝王劉武五世孫菑鄉侯之後。從現有資料和各種間接證據來看，這項推測有其合理性。

劉徽註《九章算術》自序雲“徽幼習《九章》，長再詳覽”，可見其從小就學習中國古代算術經典《九章算術》。劉徽自序雲「周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。」即認為《九章算術》是由周代九數（即《週禮》「九數」）演變而來，這一看法與鄭玄對《週禮》的註解完全一致，可見劉徽實服膺鄭玄之說，儒家經典及其鄭玄注也是劉徽學習的教科書。

根據郭書春、週無光等學者的研究，劉徽註中明確引用的有《墨子》和《考工記》，間接引用的先秦著作則有《週易》《週禮》《老子》《莊子》《荀子》《管子》等，引用的漢代著作也有《淮南子》《論衡》等篇，可見其讀書之博。而劉徽作注的用詞和推理模式與當時竹林七賢之一的嵇康（224-263）以及何晏（？-249）、王弼（226-249）等魏晉名士高度類似，可見其深受當時魏晉玄學辯難之風的影響。如果考慮到劉徽極高的數學成就，我們可以推測他其實與嵇、何、王等同屬名士。

劉徽作注的景元四年，曹魏政權早已名存實亡落入司馬氏之手，而且距離司馬炎（236-290）稱帝僅剩兩年。唐初李淳風（602-670）將劉標誌識為魏人，但入晉以後又沒有留下任何關於劉徽的文字記載，因此十多年前筆者與法國林力娜（Karine Chemla）教授在交流中就推測劉徽很可能忠於漢魏，而沒有為司馬氏服務，從而導致其不入正史。

依中國古代王朝新立之初，往往需要製禮作樂以彰顯其政權的合法性。與劉徽同時代的荀勖（？-289）精通數學、音律、度量衡，於泰始元年（266 年）為司馬氏修訂律令度量衡，​​以精準的黃鐘之聲為晉朝的合法性加持，被加授光祿大夫，《晉書》亦有傳。

與荀勖相比，劉徽在天文學、數學方面才能顯然只高不低，但卻沒有為司馬氏所用。劉徽自序雲“算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子”，又雲“當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳”，此兩句話一方面顯示出劉徽對其數學水平的高度自信，另一方面又透露出其遺憾或不滿未受朝廷重用之情。

劉徽《重差》第一問候海島，其島高近1800 米，按郭書春的推測應實為泰山。自古以來，泰山具有政治象徵的意義，歷代帝王往往登泰山封禪。故劉徽不可直言測泰山，而避稱測海島，隱約政治意涵。又劉徽註《九章算術》兩處提到晉武庫中王莽銅斛，並以之來核驗其所得之圓周率。以往學界多以此為晉朝武庫，也有人認為劉徽實際考查過銅斛，之後莫紹揆（1917-2011）提出此實為晉王武庫之說。其實，王莽銅斛是國家法定量器，也具有政權的象徵意義，由於與司馬家關係不近，入晉以後劉徽無可能接近。魏甘露三年（258年）起，司馬昭（211-265）多次受封晉王、晉公而堅決不受，其時具有像徵意義的王莽銅斛很可能已經被移入晉武庫。以此論之，劉徽以數學來檢驗銅斛，實亦有政治意味。劉徽之後，祖沖之（429-500）也做了類似工作，但祖氏是劉宋朝廷官員，其作為顯然為官方所認可。

由此可見，以重差之術測望泰山、以圓周率核校王莽銅斛實均有對司馬政權不滿之意，是以入晉以後便再無任何關於劉徽生平事蹟的文字記載。

劉徽的數學成就

以今本《九章算術》分作九卷246 問，現代數學史研究者郭書春、李繼閔、林力娜等均論證了其並非數學問題集，而是具有以演算法為中心的特徵。然而，《九章算術》並無演算法正確性的說明，例如對於圓面積僅雲「半週乘半徑為積步」（即相當於圓面積S=C/2×D/2），劉徽注則補充了大量關於演算法正確性的論證。

數學史家林力娜認為演繹證明既非古希臘的特產，也不是證明的唯一形式，遂認為劉徽注實為中國數學的證明。邏輯學家鞠實兒則提出廣義論證理論，亦認為劉徽注是中國古代的邏輯論證。美國斯塔佛大學內茲教授（Reviel Netz）則比較了劉徽與古希臘數學家阿基米德。

劉徽自序有雲「析理以辭，解體用圖」。郭書春認為劉徽以「率」解析演算法，數學家吳文俊（1919-2017）則認為劉徽以「出入相補」原始論證幾何公式。尤其是，在《九章算術》割圓術證明圓面積演算法、陽馬術證明陽馬和鱉臑體積演算法、開方術證明籌算開方法等註解中，劉徽運用了近於無窮分析的方法，展現了極高的邏輯思考能力和精益求精的學術品格。

以往吴文俊、李文林等先生认为总体而言中国与古希腊数学分占算法与演绎证明的两端。以刘徽注视之，我们可以说中国数学证明往往出现在注疏而非经文之中，从而容易被忽略。唐初李淳风等奉勅整理汉唐算经，把刘徽注作为《九章算术》标准注释选入，参以祖冲之等人的注解，并以之为国子监算学馆的教科书，可见李氏高度认可刘徽的数学成就。由此可见，作为为《九章算术》算法提供全面证明和论证的学者，刘徽独步数学的地位在唐代就已经被确立了。

《九章算術注》

劉徽的科學精神

劉徽的學問品格是與其精神世界分不開的。劉徽尊重他人的貢獻，其自序雲“是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注”，就是明確說明其註解中有包含前人的內容，其註中亦常引舊說。為此，錢寶琮（1892-1963）、嚴敦傑、郭書春等學者進一步分析出劉徽中「採其所見」的具體內容。

劉徽亦十分相信後學。其計算球體積時，設計出牟合方蓋而未能計算出其體積，便雲「敢不闕疑，以俟能言者。」此問最終被祖沖之父子解決。顯然，劉徽不僅具有高度的自信，對於自身的數學成就有著十分清醒、準確的認知。

劉徽勇於批評和指出他人的錯誤。例如對於傳統的周三徑一之率，劉徽直接說“世傳此法，莫肯精核，學者踵古，習其謬失。”其批評張衡關於球體積計算只考慮陰陽學說，則直雲“衡說之自然，欲協其陰陽奇耦之說而不顧疏密矣。

中國古代做數學用籌算，魏晉時一度形成了浮誇的風氣，以用算籌多來顯示數學水平高，失去了本義。劉徽徑雲「或用算而布耗，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多為貴」。為此，劉徽在方程式章提出「雖布算不多，然足以算多」的簡約原則，並以身示範作方程式新術。筆者認為此舉就是要盡最大可能發揮籌算的功能（類似於現在編程時選擇佔內存空間最小的算法），這一問題最終被南宋秦九韶（1208-1268）《數書九章》（1247）中以算圖解決。從世界數學史的角度來看，文本化和符號化是古代數學通往現代數學的必經之路。就此而言，劉徽的思想可謂這一進程的先驅。

總而言之，我們可以推測劉徽出生於曹魏間，或由於家庭背景的原因自小便受到了良好的教育，學習了諸子百家與《九章算術》，並且在魏晉玄學的影響下成長為一代名士，完成《九章算術》的註釋並作《重差》“綴於勾股之下”，取得了高度理論化的數學成就。其為人實事求是、敢於直言是非，又尊重他人、相信後學，對自己的成就有高度自信和清醒認識。入晉以後，或因不滿司馬氏政權、拒絕與其合作，從而正史無傳。

劉徽的生平事蹟在中國數學史上極為少見，也許只有一千年後的金朝大儒李冶（1192-1279）可作一對比。其時元朝皇帝忽必烈（1215-1294）召見李冶，授翰林學士。李冶以病辭官，隱居不仕。在其去世前，語其子克修雲「吾平生著述，死後可盡燔去。獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者，庶可布廣垂永乎」。所謂《測圓海鏡》實與劉徽《重差》一類，都是屬於《九章算術》勾股章下的數學發展，而劉、李兩人都有對自己學問高度自信以及不伍於世流的特點，可謂隔代知音。

企劃製作

作者丨朱一文科學技術史博士，中山大學哲學系教授、博士生導師，邏輯與認知研究所專職研究員

責編丨林林、丁崢

審校丨徐來2024 年9 月24 日，在法國巴黎，聯合國教科文組織總部開啟了全球對中國數學家劉徽的紀念活動。作為本次活動的一部分，國內也進行了相關紀念，並稱劉徽為中國古代數學理論的奠基者。

「九章流徽－中國古典數學理論的主要奠基者劉徽」專題展

身為中國古代最重要的算學家之一，劉徽遍註《九章算術》諸術，並論證其演算法的正確性，又在天文學立表測影的基礎上作《重差》以補《九章算術》勾股章之不足（後命為《海島算經》），成就卓越。數學史家郭書春先生讚其為「古代世界數學泰斗」。不過，由於在正史中沒有傳記，學界歷來對劉徽的數學成就和科學精神談得較多，但對其生平事蹟談得較少。

那麼，劉徽生平究竟怎樣？為什麼地位如此重要但留下的記載如此稀少呢？這又與其成就和品格有何關係呢？本文試圖在既有研究基礎上利用現有資料對其生平事蹟做進一步勾勒。

劉徽的生平

劉徽，三國曹魏間人，生卒年不可考，我們唯一知道的是其在魏景元四年（263 年）註解了《九章算術》。大觀三年（1109）宋廷頒布的「算學典典」中有「魏劉徽淄鄉男」的記載，近人嚴敦傑先生（1917-1988）據此最先推測劉徽是山東省淄鄉人。在此基礎上，郭書春進一步推測淄鄉在今山東省鄒平縣內，劉徽是漢文帝劉恆之子梁孝王劉武五世孫菑鄉侯之後。從現有資料和各種間接證據來看，這項推測有其合理性。

劉徽註《九章算術》自序雲“徽幼習《九章》，長再詳覽”，可見其從小就學習中國古代算術經典《九章算術》。劉徽自序雲「周公制禮而有九數，九數之流，則《九章》是矣。」即認為《九章算術》是由周代九數（即《週禮》「九數」）演變而來，這一看法與鄭玄對《週禮》的註解完全一致，可見劉徽實服膺鄭玄之說，儒家經典及其鄭玄注也是劉徽學習的教科書。

根據郭書春、週無光等學者的研究，劉徽註中明確引用的有《墨子》和《考工記》，間接引用的先秦著作則有《週易》《週禮》《老子》《莊子》《荀子》《管子》等，引用的漢代著作也有《淮南子》《論衡》等篇，可見其讀書之博。而劉徽作注的用詞和推理模式與當時竹林七賢之一的嵇康（224-263）以及何晏（？-249）、王弼（226-249）等魏晉名士高度類似，可見其深受當時魏晉玄學辯難之風的影響。如果考慮到劉徽極高的數學成就，我們可以推測他其實與嵇、何、王等同屬名士。

劉徽作注的景元四年，曹魏政權早已名存實亡落入司馬氏之手，而且距離司馬炎（236-290）稱帝僅剩兩年。唐初李淳風（602-670）將劉標誌識為魏人，但入晉以後又沒有留下任何關於劉徽的文字記載，因此十多年前筆者與法國林力娜（Karine Chemla）教授在交流中就推測劉徽很可能忠於漢魏，而沒有為司馬氏服務，從而導致其不入正史。

依中國古代王朝新立之初，往往需要製禮作樂以彰顯其政權的合法性。與劉徽同時代的荀勖（？-289）精通數學、音律、度量衡，於泰始元年（266 年）為司馬氏修訂律令度量衡，​​以精準的黃鐘之聲為晉朝的合法性加持，被加授光祿大夫，《晉書》亦有傳。

與荀勖相比，劉徽在天文學、數學方面才能顯然只高不低，但卻沒有為司馬氏所用。劉徽自序雲“算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子”，又雲“當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳”，此兩句話一方面顯示出劉徽對其數學水平的高度自信，另一方面又透露出其遺憾或不滿未受朝廷重用之情。

劉徽《重差》第一問候海島，其島高近1800 米，按郭書春的推測應實為泰山。自古以來，泰山具有政治象徵的意義，歷代帝王往往登泰山封禪。故劉徽不可直言測泰山，而避稱測海島，隱約政治意涵。又劉徽註《九章算術》兩處提到晉武庫中王莽銅斛，並以之來核驗其所得之圓周率。以往學界多以此為晉朝武庫，也有人認為劉徽實際考查過銅斛，之後莫紹揆（1917-2011）提出此實為晉王武庫之說。其實，王莽銅斛是國家法定量器，也具有政權的象徵意義，由於與司馬家關係不近，入晉以後劉徽無可能接近。魏甘露三年（258年）起，司馬昭（211-265）多次受封晉王、晉公而堅決不受，其時具有像徵意義的王莽銅斛很可能已經被移入晉武庫。以此論之，劉徽以數學來檢驗銅斛，實亦有政治意味。劉徽之後，祖沖之（429-500）也做了類似工作，但祖氏是劉宋朝廷官員，其作為顯然為官方所認可。

由此可見，以重差之術測望泰山、以圓周率核校王莽銅斛實均有對司馬政權不滿之意，是以入晉以後便再無任何關於劉徽生平事蹟的文字記載。

劉徽的數學成就

以今本《九章算術》分作九卷246 問，現代數學史研究者郭書春、李繼閔、林力娜等均論證了其並非數學問題集，而是具有以演算法為中心的特徵。然而，《九章算術》並無演算法正確性的說明，例如對於圓面積僅雲「半週乘半徑為積步」（即相當於圓面積S=C/2×D/2），劉徽注則補充了大量關於演算法正確性的論證。

數學史家林力娜認為演繹證明既非古希臘的特產，也不是證明的唯一形式，遂認為劉徽注實為中國數學的證明。邏輯學家鞠實兒則提出廣義論證理論，亦認為劉徽注是中國古代的邏輯論證。美國斯塔佛大學內茲教授（Reviel Netz）則比較了劉徽與古希臘數學家阿基米德。

劉徽自序有雲「析理以辭，解體用圖」。郭書春認為劉徽以「率」解析演算法，數學家吳文俊（1919-2017）則認為劉徽以「出入相補」原始論證幾何公式。尤其是，在《九章算術》割圓術證明圓面積演算法、陽馬術證明陽馬和鱉臑體積演算法、開方術證明籌算開方法等註解中，劉徽運用了近於無窮分析的方法，展現了極高的邏輯思考能力和精益求精的學術品格。

以往吴文俊、李文林等先生认为总体而言中国与古希腊数学分占算法与演绎证明的两端。以刘徽注视之，我们可以说中国数学证明往往出现在注疏而非经文之中，从而容易被忽略。唐初李淳风等奉勅整理汉唐算经，把刘徽注作为《九章算术》标准注释选入，参以祖冲之等人的注解，并以之为国子监算学馆的教科书，可见李氏高度认可刘徽的数学成就。由此可见，作为为《九章算术》算法提供全面证明和论证的学者，刘徽独步数学的地位在唐代就已经被确立了。

《九章算術注》

劉徽的科學精神

劉徽的學問品格是與其精神世界分不開的。劉徽尊重他人的貢獻，其自序雲“是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注”，就是明確說明其註解中有包含前人的內容，其註中亦常引舊說。為此，錢寶琮（1892-1963）、嚴敦傑、郭書春等學者進一步分析出劉徽中「採其所見」的具體內容。

劉徽亦十分相信後學。其計算球體積時，設計出牟合方蓋而未能計算出其體積，便雲「敢不闕疑，以俟能言者。」此問最終被祖沖之父子解決。顯然，劉徽不僅具有高度的自信，對於自身的數學成就有著十分清醒、準確的認知。

劉徽勇於批評和指出他人的錯誤。例如對於傳統的周三徑一之率，劉徽直接說“世傳此法，莫肯精核，學者踵古，習其謬失。”其批評張衡關於球體積計算只考慮陰陽學說，則直雲“衡說之自然，欲協其陰陽奇耦之說而不顧疏密矣。

中國古代做數學用籌算，魏晉時一度形成了浮誇的風氣，以用算籌多來顯示數學水平高，失去了本義。劉徽徑雲「或用算而布耗，方好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多為貴」。為此，劉徽在方程式章提出「雖布算不多，然足以算多」的簡約原則，並以身示範作方程式新術。筆者認為此舉就是要盡最大可能發揮籌算的功能（類似於現在編程時選擇佔內存空間最小的算法），這一問題最終被南宋秦九韶（1208-1268）《數書九章》（1247）中以算圖解決。從世界數學史的角度來看，文本化和符號化是古代數學通往現代數學的必經之路。就此而言，劉徽的思想可謂這一進程的先驅。

總而言之，我們可以推測劉徽出生於曹魏間，或由於家庭背景的原因自小便受到了良好的教育，學習了諸子百家與《九章算術》，並且在魏晉玄學的影響下成長為一代名士，完成《九章算術》的註釋並作《重差》“綴於勾股之下”，取得了高度理論化的數學成就。其為人實事求是、敢於直言是非，又尊重他人、相信後學，對自己的成就有高度自信和清醒認識。入晉以後，或因不滿司馬氏政權、拒絕與其合作，從而正史無傳。

劉徽的生平事蹟在中國數學史上極為少見，也許只有一千年後的金朝大儒李冶（1192-1279）可作一對比。其時元朝皇帝忽必烈（1215-1294）召見李冶，授翰林學士。李冶以病辭官，隱居不仕。在其去世前，語其子克修雲「吾平生著述，死後可盡燔去。獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者，庶可布廣垂永乎」。所謂《測圓海鏡》實與劉徽《重差》一類，都是屬於《九章算術》勾股章下的數學發展，而劉、李兩人都有對自己學問高度自信以及不伍於世流的特點，可謂隔代知音。

企劃製作

作者丨朱一文科學技術史博士，中山大學哲學系教授、博士生導師，邏輯與認知研究所專職研究員

責編丨林林、丁崢

審校丨徐來