一位教授和他的合作者證明了波利亞對圓盤特徵值的猜想，這是數學中的一個棘手問題。有可能從鼓發出的聲音推斷出鼓的形狀嗎？蒙特婁大學數學與統計系教授Iosif Polterovich 就喜歡問這樣的問題。波爾特羅維奇利用數學分支光譜幾何來理解涉及波傳播的物理現象。

數學猜想的突破

去年夏天，波爾捷羅維奇和他的國際合作者–尼古拉-菲洛諾夫、麥可-列維廷和戴維-謝爾–證明了美國匈牙利著名數學家喬治-波利亞1954 年提出的譜幾何中一個著名猜想的特例。

該猜想涉及圓鼓頻率的估計，或用數學術語來說，涉及圓盤的特徵值。

此圖顯示了貝塞爾函數，其中的點與圓鼓發出的聲音頻率相對應。資料來源：邁克爾-列維廷

波利亞本人在1961 年證實了他對三角形和矩形等平面領域的猜想。直到去年，人們只知道這些情況下的猜想。儘管圓盤表面上很簡單，但仍然難以捉摸。

“想像一下，在一個無邊無際的地板上，鋪滿了形狀相同的瓷磚，這些瓷磚拼在一起，填滿了整個空間，」波爾捷羅維奇說。”它可以用正方形或三角形鋪成，但不能用圓盤。實際上，圓盤並不是鋪地磚的好形狀。”

數學的普遍性和影響力

研究人員在2023 年7 月發表在數學期刊《Inventiones Mathematicae》上的一篇文章中指出，波利亞的猜想對圓盤來說是正確的，而這種情況被認為特別具有挑戰性。

雖然他們的結果本質上具有理論價值，但他們的證明方法在計算數學和數值計算中也有應用。作者目前正在研究這項途徑。

Iosif Polterovich

“雖然數學是一門基礎科學，但它在某些方面與體育和藝術相似，”Polterovich 說。”試圖證明一個長期存在的猜想是一項運動。找到優雅的解決方案是一門藝術。而在很多情況下，美麗的數學發現確實有用–你只需要找到正確的應用”。

編譯來源：ScitechDaily