能被丘成桐評價為“90 年代以來廣義相對論首次突破”的是什麼研究？原來，有人用一篇900 多頁的數學論文證明了一種緩慢旋轉的黑洞是穩定的，並不會爆炸！論文的研究對象克爾黑洞（Kerr black holes），專指以不變的速度自轉的黑洞。

三位數學家對其進行了持續數年的研究，前後共發布了5 篇論文，光論文頁數加起來就有2100 頁之多！其中最新的這篇912 頁的關鍵論文，已上傳到arXiv。

不止丘成桐，很多數學界同行都對這一結果表示欣賞，瑞士蘇黎世聯邦理工學院的數學系教授Demetrios Christodoulou 說：“這確實是廣義相對論數學發展的一個里程碑”。

這一證明有多難？

1963 年，數學家Roy Kerr（羅伊・克爾）找到了愛因斯坦方程的解，該方程精確描述了我們現在所說的旋轉黑洞之外的時空，這也是克爾黑洞的命名來源。這類黑洞的中心是一個奇點（Singularity），且有內、外兩個視界（Event Horizon）。內視界為黑洞奇異性的界限，而外視界則為不可逃脫的界限。

這就意味，一旦你落入外視界，你不會立即被黑洞的種種奇異性摧毀，但此時你將會不可避免地落入內視界。兩界面僅在兩極處相切。除去兩視界外，克爾黑洞的最外圍還有一個界限稱為靜止界限（Static Limit）或無限紅移面（Surface of Infinite Redshift）。

從克爾取得這一成就後的近60 年裡，研究人員一直試圖證明所謂的克爾黑洞是穩定的。但遇到的一個問題是：愛因斯坦方程的大多數明確解，都只適用於史瓦西黑洞（Schwarzschild black hole）這種靜止的黑洞。

但自然界中能觀察到的很多其他黑洞都在自旋。

本項研究的三位數學家，分別是來自哥倫比亞大學的Elena Giorgi、 Jeremie Szeftel 和普林斯頓大學的Sergiu Klainerman。為了評估克爾黑洞的穩定性，他們需要讓黑洞受到輕微的干擾，然後觀察隨著時間的推移，這些物體的解決方案會發生什麼變化。

舉個簡單的例子，就像聲波衝擊酒杯時，大多數情況酒杯都是輕輕搖晃後就穩定下來。但如果有人唱得足夠大聲，並且音調與玻璃的共振頻率完全匹配，那麼酒杯可能就會碎。

三位數學家想知道，當黑洞被引力波撞擊時，是否會發生類似的共振現象。

他們預設了幾種可能的結果：

1、引力波可能會穿過克爾黑洞的視界，進入黑洞內部，略微改變黑洞的質量和旋轉；

2、引力波可能繞著黑洞旋轉，然後消散，就像大多數聲波並不會震碎酒杯一樣；

3、引力波可能會聚集在黑洞視界外，它的能量會集中到一個單獨的奇點，黑洞外的時空將嚴重扭曲，結果將走向不確定性。

為此，他們採用了矛盾法來推理，這種方法在之前的相關工作中曾使用過。論證過程大致是這樣的:

首先，研究者假設與他們自己試圖證明的相反，即克爾解決方案不會永遠存在，這就意味著在一個很長的時間之後就會失效。

然後，他們使用了一些數學技巧，即通過對偏微分方程進行分析，將克爾解決方案擴展到聲稱的最長時間之外。換言之，研究者證明了這個“很長的時間”其實是無限的，也就是很穩定。

而這明顯與研究者最初的假設是矛盾的，也就意味著猜想本身一定是正確的。

Klainerman 特別強調，他和他的同事們是在前人的基礎上進行研究的。“只不過我們碰巧是幸運的。”他說，他希望這項新的研究結果能被視為“整個數學界的勝利”。

未來展望

到目前為止，克爾黑洞的穩定性只在緩慢旋轉——黑洞的角動量與其質量的比率遠小於1 —— 的情況下得到了證明，還沒有研究證明快速旋轉的黑洞也是穩定的。

此外，研究人員還沒有精準地確定角動量與質量的比率要必須有多小才能確保穩定性。

在這一問題之外，還有一個被稱為終態猜想（final state conjecture）的更大問題。根據該猜想的基本定義，如果我們等待足夠長的時間，宇宙將演變成有限數量的相互遠離的克爾黑洞。終態猜想取決於克爾穩定性以及其它極具挑戰性的子猜想。

這也就意味著，三位數學家的研究只是一個新的開始，正如Klainerman 所說：在未來數年甚至數十年內，數學家們仍將繼續圍繞克爾黑洞的穩定性進行研究。

即使直到這個十年結束時，我們才能對克爾黑洞的穩定性有一個完整的結論，我也一點不會感到驚訝。

參考鏈接：

[1] https://arxiv.org/abs/2205.14808

[2] https://www.quantamagazine.org/black-holes-finally-proven-mathematically-stable-20220804/

[3] https://www.quantamagazine.org/to-test-einsteins-equations-poke-a-black-hole-20180308/