數學家發現自然界中常見的一類新形狀
數學家描述了一種新的形狀，這種形狀在自然界中很常見ーー從鸚鵡螺標誌性的螺旋殼的腔室，到種子長成植物的方式。 9月10日，相關論文發表於PNAS Nexus。
這項工作考慮了「密鋪」這個數學概念：形狀如何在表面上鑲嵌。自古以來，用相同的圖形填充平面的問題已經得到了充分探索，以至於人們很容易認為已經沒有什麼可發現的了。但是，研究人員用一組新的具有圓角的幾何圖形推導出了密舖的原則，他們稱之為「軟細胞」。
“簡單來說，以前沒有人這樣做過。”未參與這項工作的美國國家數學博物館數學家Chaim Goodman-Strauss說，“有這麼多基本的事情需要考慮，真是令人驚訝。”
幾千年來，人們已經知道，只有某些類型的多邊形材料，如正方形或六邊形，可以拼接在一起，以無縫填充2D空間。自1980年代準晶體這種非週期性結構被發現以來，填充空間而沒有規則重複排列的密鋪，如彭羅斯密鋪，引起了人們的興趣。去年，Goodman Strauss和同事宣布了第一個只使用單一材料形狀的準週期密鋪，它缺乏任何真正的週期性。
匈牙利布達佩斯技術與經濟大學數學家Gábor Domokos和同事重新研究了週期性的多邊形密鋪，但考慮了當一些角變圓時會發生什麼。在二維空間中，並非所有的角都可以圓潤化而不留下縫隙。但是，當一些角變形為“尖點形狀”時，空間填充的密舖有了可能。這些角的內角為零——它們的邊緣像淚滴一樣切線相交，並且它們緊貼圓角。
Domokos及其同事設計了一種演算法，可以將幾何圖塊——二維多邊形或三維多面體，如泡沫的氣泡，平滑地轉換為軟細胞，並探索這些規則允許的可能形狀的範圍。在二維中，選擇相當有限，所有圖塊必須至少有兩個尖點狀角。但在三維中，柔軟度的引入會帶來一些驚喜，特別是這些軟細胞可以在沒有任何角落的情況下填充體積空間。
研究人員設計了一種定量測量這種填充空間的三維圖形“柔軟度”的方法，發現最柔軟的不是緊湊的形狀，而是在邊緣發展出的法蘭狀的圓形“翅膀”，後者通常出現在馬鞍狀的瓷磚表面。最柔軟的形狀元素其實是圓盤，近似法蘭的三維圖形。
Domokos認為，對於任何給定的初始多面體密鋪，都有一個具有最大可能柔軟度的唯一密鋪。他也懷疑，在真實材料中，這個最佳解將最大化與邊緣彎曲能或界面張力有關的某些物理量。他承認，他和同事目前還沒有證明這個最大柔軟度猜想的證據，但他希望「某個更聰明的人能發現並證明它」。
研究人員在自然界中發現了軟密鋪，包括辮狀河流中島嶼的二維形狀、洋蔥同心層的橫截面和組織的生物細胞，以及鸚鵡螺等軟體動物的螺旋殼的三維腔室。他們認為，大自然通常尋求避開角落，因為這樣的角落的變形能量成本很高，可能是結構弱點的來源。
Domokos說，研究鸚鵡螺「是這項工作的轉捩點」。在橫切面上，其腔室看起來像有兩個角的二維軟細胞。但論文共同作者、布達佩斯技術與經濟大學的Krisztina Reg?s懷疑實際的三維腔室根本沒有角。 “這聽起來令人難以置信。”Domokos說，“但後來我們發現她是對的。”
Goodman-Strauss認為這項工作提供了一種“結構的描述性語言”，但可能尚未揭示自然界中形成此類結構的新的物理原理。他說，例如，要理解河岸，可能仍需要從基本原理出發考慮物理過程，例如水流、沉積物運輸和侵蝕的作用。