對於許多小朋友來說，數學的魅力，在魔方上就體現得淋漓盡致。不過近日，量子物理學家Gemma De las Cuevas又攜手另外兩位數學家（Tim Netzer和Tom Drescher），對所謂的“量子幻方”的概念及其性質，展開了更加深入的研究。此前多年，幻方一直停留在人類的想像層面。而已知最古老的幻方，甚至可追溯到2000年前的中國。

資料圖（來自：西班牙國家圖書館/ CC BY-NC-SA 4.0）

不過西方研究人員相對更加熟悉的，或許包括阿爾布雷希特·丟勒（Albrecht Dürer）在銅版畫上描繪的《Melencolia I》，以及西班牙巴塞羅那聖家族大教堂的那一塊。

作為一組數字的集合體，幻方在每一行（或列）上的數字排布，都具有特殊的意義。比如聖家堂的那個幻方，其每行/ 每列數字之和都是33 。

如果允許包含實數，則每行/ 每列之和為1 的幻方，亦可被稱之為’雙隨機矩陣’。

在特殊情況下，你甚至可以看到每一行和每一列都有一個數字1，但其它格子上都是0 —— 這又被稱作’置換矩陣’。

某著名定理指出，每個雙隨機矩陣都可作為置換矩陣的凸組合（convex combination）而獲得—— 換言之，置換矩陣也包含了雙隨機矩陣的所有秘密。

不過更準確的說法，就是後者能夠根據前者來“完全表徵”（fully characterized）。

有趣的是，在近日發表於《數學物理雜誌》（Journal of Mathematical Physics）的一篇新論文中，數學家Tim Netzer和Tom Drescher就攜手理論物理學家Gemma De las Cuevas，介紹了他們對於“量子幻方”這一概念的深入理解。

這篇文章的標題為《量子幻方：膨脹及其局限性》，主要差異在於數字矩陣的不可交換性（non-commutative）。

作者指出，量子幻方並不能像“經典”幻方那樣容易表徵—— 更準確的說法是，量子幻方不是量子置換矩陣的“凸組合”。

Tom Drescher 解釋稱：“量子幻方的形式更加豐富，也更難被人們所理解。在研究這種性質的時候，通常都會涉及不可交換性的主題”。

Gemma De las Cuevas 和Tim Netzer 補充道：“這項工作很好地展示了跨學科合作的益處，因為相關研究正處於代數幾何與量子信息的交岔口”。