當兩個看似“無關”的數學領域發生碰撞，會發生什麼？浙江大學研究員、中科大數學系2003級校友葉和溪，與來自劍橋大學、哈佛大學的兩位學者一起，將動力系統應用到數論中，解開了困擾數學家長達數十年的難題。

研究成果發表在數學界頂級期刊《數學年刊》（Annals of Mathematics）上，該學術期刊為雙月刊，近兩年每年僅發表三十多篇學術論文。

這也是浙大40多年來首次在該期刊上發表成果。葉和溪結合動力系統方法，證明了數論中一個非常重要的問題。

動力系統，主要研究空間中所有點隨時間變化的情況。這門學科最著名的便是“蝴蝶效應”中的洛倫茨吸引子。

然而數論，研究的卻是整數的性質。

這兩個看起來風馬牛不相及的領域，被數學家們巧妙地被結合到一起。

它們是怎麼聯繫起來的，首先還得從兩個方程說起。

兩個方程

1、y2=x3+ax+b 2、f(z)=z2+c第一個方程表示橢圓曲線，當a和b不斷變化時，橢圓曲線形狀各不相同，就像是從曲線中擠出一個“氣泡”。

橢圓曲線是數論中的重要工具，數學家證明費馬大定理就用到了它。在橢圓曲線上，你甚至可以對兩個點做加法。

假設有兩個點P、Q，那麼PQ連線與曲線的第三個交點R對x軸的鏡像點，就是P+Q。R的鏡像點記為-R，即-R=P+Q。

因為橢圓曲線是上下對稱的，所以P+Q也一定在橢圓曲線上。

那麼P點和它自己相加（P+P）怎麼計算？

想像一下Q點越來越靠近P點，最後PQ兩點的連線就變成P點處的切線，所以P+P就是這個切線與橢圓曲線交點的鏡像點。

如果P點反復加上自己，經過有限次加法後（P+P+……+P）又回到P點，那麼P就叫做“撓點”（torsion point）。

再看第二個方程數學公式: f(z)=z^2+c，它不是二次曲線，而是與另一門數學分支動力系統有關。

z在這裡不是實數，而是實數+虛數。如果我們畫出一個平面坐標，橫坐標代表它的實數部分，縱坐標代表它的虛數部分，z就是一個點。

我們把z、f(z)兩個點畫在這個平面上，再把f(z)帶入方程得到f(f(z))，然後再得到f(f(f(z)))……

如此“無限套娃”操作，把所有的點都畫出來，可以得到以下圖形。

有些人可能已經發現，這不就是分形嗎，怎麼和橢圓曲線聯繫起來了？

上面的圖形範圍有限，說明某些z值在經過無限套娃後，還是有限的數值。

假設c=-1，z的初始值為2，那麼得到的數字組合是2、3、8、63……，這組數會一直增大；如果z的初始值是0，那麼接來下的數分別是-1、0、-1、0……，會一直循環下去。

對於第二種情況，無限次迭代後的每個點都在有限範圍內，這些有限範圍內的點組成的集合，就是“朱利亞集合”（Julia set）。

在動力系統中，像-1、0、-1、0……這樣，不僅範圍有限，還能夠回到起點的一組點，稱為“有限軌道點”（finite orbit point）。

這樣，橢圓曲線就和動力系統聯繫起來了，有限軌道點便是橢圓曲線上撓點的模擬。

葉和溪的導師DeMarco說：“橢圓曲線上的撓點與某個動力系統的有限軌道點相同，這就是我們在論文中反複使用的內容。”

證明數學猜想

但這三位數學家研究的問題—— Manin-Mumford猜想——比上面複雜得多。

Manin-Mumford猜想是比橢圓曲線更複雜的曲線，例如y^2 = x^6 + x^4 + x^2 ?1，每個不同參數的曲線都與一個幾何體關聯。

Manin-Mumford猜想於1983年被Raynaud證明，即虧格（genus）大於1的任意光滑代數曲線上至多只有有限個撓點。

對於封閉的有向曲面而言，虧格就是曲面的“洞”數量。

橢圓曲線對應的幾何體是虧格為1的“甜甜圈”。

葉和溪等人將Manin-Mumford猜想又推進了一步，他與Holly Krieger、Laura DeMarco一起，結合動力系統證明了，在虧格為2的情況下，光滑代數曲線撓點數量不僅有限，而且具有一致上界。

與橢圓曲線不同的是，Manin-Mumford猜想中的複雜曲線不具備允許做加法的結構。

但是它們對應的幾何體卻都可以做加法，而且像橢圓曲線一樣具有撓點。

他們給出了待求的特定曲線簇的解的形狀：像是兩個甜甜圈的表面（虧格為2）。

其中，每個“甜甜圈”代表一個橢圓曲線。

而要證明撓點數量的上限，就需要計算出橢圓曲線上撓點之間的相交點數量。

然而這兩條橢圓曲線上的撓點不可能直接比較，因為它們不一定重疊。

幾位學者想出了一種方法：比較它們是否在“甜甜圈”上各自處於相同的相對位置。

他們將兩條橢圓曲線的解各自繪製在一張平面圖上，以此來比較撓點的位置。

接下來，只需要計算這些點重疊的次數，就能給Manin-Mumford猜想一個明確的上界了。

這裡，便是動力系統需要發揮作用的地方。

他們利用動力系統，證明了這些點只能重合特定的次數，而且這一次數確實存在——即Manin-Mumford猜想的上界確實存在。

對於他們的證明，來自加拿大約克大學的助理教授Patrick Ingram表示：

他們成功證明了一個特殊問題。此前，這個問題一直被歸類於數論中，沒人認為它與動力系統有關。這確實引起了極大的轟動。

與導師舊友一同解決重要猜想

事實上，猜想證明背後的三位學者，彼此也是導師與舊友的關係。

這其中，葉和溪與論文作者Holly Krieger，都曾經是Laura DeMarco的學生。

2013年，他們在後者的指導下，獲得了伊利諾伊大學芝加哥分校的博士學位。

在這之後，Laura DeMarco如今已是哈佛大學教授，而Holly Krieger也已經成為一名劍橋大學的數學講師。

葉和溪則選擇了回國，成為浙江大學的數學系研究員。

但這期間，他們並未停止共同研究的步伐。

2017年，葉和溪就曾與Laura DeMarco、Holly Krieger一起，研究了動力系統中有界高度的問題，成果於2019年發表。

而在2019年，繼證明Manin-Mumford一致猜想之後，他們也對動力系統中的另一個問題進行了深入探討，並採用了類似的研究方法。

目前，這篇文章以預印本的形式發表。

2020年4月15日，他們證明的Manin-Mumford一致猜想，最終成功刊登在《數學年刊》上。

中科大03級數學人才“井噴”

在這次研究中做出不少貢獻、來自浙江大學的研究員葉和溪，高中曾就讀於福建省建甌第一中學。

2003年，葉和溪進入中國科學技術大學數學系學習。

本科畢業後，葉和溪選擇出國深造，研究方向就是數學中的動力系統。

2013年，他在導師Laura DeMarco的指導下，完成了博士學位，畢業於伊利諾伊大學芝加哥分校。

在這之後，他曾經先後在多倫多大學、英屬哥倫比亞大學從事博士後研究工作。

完成學術研究後，葉和溪於2016年回國任教。

與葉和溪一同入學的中科大數學系校友，也是人才輩出。

其中，至少5位學者的研究，再世界“四大數學頂刊”上發表過論文。

葉和溪同班同學郟浩、劉博、申述、張享文，也都已經在《數學發明》上各發表一篇論文。

還有許多與葉和溪、劉博一樣學成歸來的學子，如魯汪濤、馬傑、熊濤、張振、仲杏惠等中科大校友，毅然決然地放棄了國外的條件，回到國內繼續從事數學研究。

△圖源：公眾號@中國科大本科招生

對於2003級學子在數學上取得的成就，中國科學院院士、南開大學陳省身數學研究所張偉平由衷地表示自豪：

事實證明，科大的學生不管考第幾，到哪裡都是一塊好料。在同一個班就有這麼多傑出的人才湧現，殊為罕見。