65年數學難題新突破！來自復旦大學的林偉南、王國禎以及UCLA的徐宙利合作，解決了126維空間的Kervaire不變量問題。三位作者都是北大數院出身，該成果曾作為北大建校126週年賀禮做報告，現在完整論文終於上傳arXiv。

△圖源：北京大學數學科學學院

他們這次解決的是高維拓樸學中的核心難題之一，也被稱為「末日假說」：如果該假說被證偽，許多基於它建立的所有其他猜想都將被推翻！

Kervaire不變量用於判斷流形能否透過特定方法轉換為球體。當一個流形可以精確地轉換為球體時，該不變量等於零；無法轉換為球體時，該不變量等於1。

到了1960年，數學家們已經證明Kervaire不變量為1的流形存在於維度2、6、14、30。

前面的問題背景介紹都看不懂也沒關係，觀察這四個數字很容易得出他們似乎滿足2^n-2的規律。

數學家很自然的假設這種流形還會存在於62、126、254等維度，但證明止步於62維，後面停滯了幾十年未取得進展。

直到2009年，終於有人證明了大於等於254維時這樣的流形不存在，至此，126維成為了全部問題的最後一塊拼圖。

林偉南、王國禎、徐宙利三人這次證明126維的方法結合了電腦計算和理論見解，被學術界評價為「堪稱一項宏偉的工程」。

從105種可能性到唯一解

幾十年來，數學家都在好奇一個問題：

哪些維度存在一些奇怪的形狀，其扭曲到即使利用特殊手段也無法轉化為球體。

通俗理解，每增加一個維度就意味著創造了一個新的移動方向，而不同維度都有各自的特性。

例如在第8維和第24維（下圖），數學家已經證明這兩個維度可以讓球體排列得特別緊密。而在其他維度中，球體的排列可能就沒那麼完美，甚至看起來有些「皺巴巴」的，就像一個被揉皺的紙團一樣。

透過找出這些具有扭曲形狀的維度，數學家可以更好地理解不同維度空間的性質和規律。

而在林偉南等人的研究之前，數學家已經發現這些扭曲形狀存在於第2、6、14、30和62維空間中，並且排除了除第126維之外的其他情況。

也就是說，唯一不確定的第126維，現在已經被他們最終解決了。

不過要弄清楚他們是如何解決這個問題的，我們還得回顧一下前人的一些進展。

相關研究最早可以追溯到1950年代，數學家John Milnor引進了目前流形研究中的一種通用方法— surgery（手術）。

其中，流形在數學中指一個複雜的形狀，例如一個彎曲的表面或更高維度的空間。

而surgery就像是對這個形狀進行「整形」。需要先切掉一部分，然後沿著切口的邊緣把新的部分縫上去。這個過程必須非常小心，不能留下任何尖銳的角或邊緣，因為數學家希望新的形狀是平滑的，就像一個完美的球面一樣。

甚至當涉及到扭曲形狀時，surgery也必須符合流形的“框架”，即流形在空間中的擺放位置。

例如在下面這個例子中，將一個「甜甜圈」（環面）變成球體，需要經歷切割──形狀變化──縫合──拓樸等價這幾個過程。

最終結果是，雖然形狀發生了改變，但在拓樸學上卻是等價的（基本結構和性質相同）。

利用surgery這項方法，數學家們得出以下發現：

• 二維平面不存在奇異球體；
• 在某些更高維度中，surgery可以使一些流形變成普通球體，同時使另一些變成奇異球體；
• 還有一種特殊情況，某些流形無法透過surgery變成球體。

這裡所謂的奇異球體，是指在某個維度中與普通球體（標準球體）具有相同拓樸性質，但在微分結構上有所不同的球體。微分結構涉及空間的局部平滑性，例如一個在普通球面上光滑的曲線可能在奇異球面上不光滑。

BTW，當初John Milnor就因在七維空間中發現奇異球體而震驚數學界，並且之所以引入surgery，也是想探索不同維度中的奇異球體。

基於上述發現，後來的研究聚焦在了第三種特殊情況——某些流形無法透過surgery變成球體。

就像下面這個經過特殊扭曲的二維形狀：

而為了進一步判斷一個流形是否可以透過拓樸surgery變成球體，法國數學家Michel Kervaire於1960年正式提出了Kervaire不變量。

可轉換為球體，Kervaire不變量為0；無法轉換為球體，Kervaire不變量為1。

有了這個計算數值，數學家們爭相確定不同維度流形的Kervaire不變量。

並且在幾年之內，他們就證明了在第2、6、14和30維空間中存在Kervaire不變量為1的扭曲流形。

顯然，這幾個維度有一個明顯法則：每個數都比2的冪小2。

後來在1969年，數學家William Browder證明了這個規律是唯一可能存在Kervaire不變量為1的地方。

沿著這個規律，人們自然假設其他維度還包括62、126、254等等，同時也有人基於這個假設提出了大量相關猜想。

不過由於假設並未得到完全證明，導致後來的猜想始終“搖搖欲墜”，所以這一假設也被稱為“末日假說”。

再到後來，兩項關鍵證明出現了：

一個是在1984年，數學家證明了62維確實存在扭曲流形；另一個是在2009年，Hopkins等人證明了滿足Kervaire不變量為1的流形不可能存在於254維及以上的空間。

排除之後，唯一剩下的只有第126維空間了。

還是上面提到的William Browder，他在1969年發現了一個解決第126維問題的關鍵線索：

在亞當斯譜序列第126列中的一個特定點，對於理解問題至關重要。

具體而言，這個點可以告訴我們126維流形是否可以被分類為具有Kervaire不變量為0或1的流形。

這裡要分為兩種情況：

其一，如果這個點在亞當斯譜序列的「無限」頁（也就是最終頁）上存活下來，那麼這意味著在126維空間中存在兩種類型的流形，即Kervaire不變量為0或Kervaire不變量為1。

其二，如果這個點在「無限」頁上沒有存活下來，那麼在126維空間中就只存在一種類型的流形，即Kervaire不變量為0的流形。

概括而言，對於第126列中的特殊點，有105種不同的假設方式可能導致它在到達「無限」頁面之前消失。

為了排除這些可能性，林偉南等人進行了合作。其中由林偉南開發的電腦程序，首先排除了101種可能性。

後來又花了1年時間，繼續排除了最後4種可能。

最後他們證明了，William Browder提出的特殊點確實存活到了「無限」頁，即第126維具有Kervaire不變量為1的流形。

研究團隊

三位作者中，王國禎和徐宙利在北大數院本科和碩士期間（2004-2011）一直是同學，碩士階段還是捨友。

從北大數院畢業後，王國禎到MIT讀博，2016年來到復旦大學上海數學中心從博士後一路做到副教授。

△王國禎

徐宙利則去了芝加哥大學讀博，畢業後先後在MIT、UCSD和UCLA任教，現為UCLA數學系教授。

△徐宙利

兩人一直保持著合作關係，截止目前已在數學四大刊上聯手發表了3篇論文。

林偉南比他們年紀小一些，2011年來到北大數院讀本科，後來到芝加哥大學讀博，徐宙利與林偉南在芝加哥大學都接受Peter May的指導。

△林偉南

2011年，當徐宙利來到芝加哥大學時就致力於研究流形的計算問題，導師Peter May提議他研究126維Kervaire不變量問題，也把他介紹給這方面的專家西北大學教授Mark Mahowald。

Mark Mahowald聽說後立即否決了這項提議，他認為126維問題“將是一個終生難題”，並指導徐宙利去研究更低維度的相關問題。

僅僅兩年後，Mark Mahowald於2013年不幸過世，徐宙利等人卻沒有停下研究126維Kervaire不變量問題的腳步。

十多年後，當這個問題被解決，三位作者特別將這篇具有里程碑意義的論點給了Mahowald，表達對這位代數拓樸學大師的敬意。

論文地址：

https://arxiv.org/abs/2412.10879

參考連結：

[1]https://www.quantamagazine.org/dimension-126-contains-strangely-twisted-shapes-mathematicians-prove-20250505/

[2]https://news.ycombinator.com/item?id=43896199

[3] https://mp.weixin.qq.com/s/BhdfRDTpR-QH-kf4y3n11w

[4]https://pouiyter.github.io

[5]https://waynelin92.github.io

[6]https://sites.google.com/view/xuzhouli

[7]https://www.ams.org/publications/journals/notices/201606/rnoti-p652.pdf