中國古代數學源遠流長，成書於漢代的《九章算術》歷來被稱作“算經之首”，是其中最重要的一部數學著作。正如已故中國科學院院士、著名數學家吳文俊先生（1919-2017）所言：「《九章算術》及其劉徽注，對數學發展在歷史上的崇高地位，足可與古希臘歐幾裡得《幾何原本》東西輝映，各具特色。

那麼，《九章算術》究竟有哪些數學成就，又為何在數學史上有如此高的地位，今天一起來看看。

算籌與準十進位位值制記數法

數字的表達是人類理解世界的重要方式。成書於漢代的《九章算術》總結了先秦以來的數學成就，其記載的最重要一項數學成就是算籌的準十進制位值制記數法。

所謂十進位（decimal system），就是從1 開始記數，到10 就換一個記數方式；所謂位值制（place-value system），就是同樣一個數字放在不同位置，就具有不同的數量意義。

古埃及數學採用的是十進制記數法，但並非位值制（實是壘數制）；古巴比倫數學採用的位值制記數法，但其使用的是60 進制。現代同業的印度-阿拉伯數字是十進制位置值，而從文獻的記載來看，晚於中國算籌記數。因此，新加坡學者藍麗蓉（Lam Lay Yong）甚至提出印度-阿拉伯數字乃起源於中國算籌的說法。

2016 年，中國科學院自然科學史研究所編《中國古代重要科技發明與創造》明確將這項成就列入其中。

算籌在中國行用長達約2000 年，是在16 世紀被算盤取代前中國人長久以來使用的數學工具，也是日本、朝鮮、越南、琉球等漢字文化圈國家長久使用的數學工具。

其材質一般用竹（也偶有像牙、骨、鉛、銀），漢代約12 公分。近代以來多有算籌出土，1983 年11 月在陝西省旬陽地區漢墓出土了28 根象牙算籌。日本也藏有算籌。

在古語中「筭」與「算」不同。前者的意思是擺弄竹子，即算籌；後者是裝算籌的器物，引申為計算。因此在古書中普遍寫成「筭術」（即運用算籌的演算法），例如《九章筭術》。

陝西旬陽出土算籌

日本東大寺所藏算籌

算籌記數分為縱橫兩式，其個、百、萬等位上用縱式，其十、千、百萬等位上用橫式。

算籌記數分為縱橫兩式，其個、百、萬等位上用縱式，其十、千、百萬等位上用橫式。如12345，就擺放成。由於其十位上的1 和個位上的1 擺放不同，故筆者稱之為「準位值制」。這正好體現了算籌記數的特徵和優勢，由於遇0 是作空位處理，故這一縱橫不同可以最大限度凸顯空位，如表示203，而不可能是23（）。 《九章算術》卷八方程式涉及正負術，以算籌的顏色和擺放亦可區分正負。

以演算法為中心《九章算術》中的術

《九章算術》分成九卷，包含246 個數學問題。一直以來，學界有一種誤解認為該書是一本應用問題集。其實，246 個問題對應的演算法（即術）只有約100 個，常出現多個問題對應一個演算法的情況。因此，數學史家郭書春指出該書是採取「術文統率範例」的形式。

又有一種誤解認為，該書是一本演算法操作手冊，運籌者無須理解其中的數學原理。對此，數學史家李繼閔指出演算法實施的過程中蘊含著算理（即「寓理於算」），故不懂數學原理實際上無法計算。

吳文俊先生高屋建瓴地指出中國古代的演算法具有構造性和機械化的特徵。所謂構造性，與現代存在性數學相對應，指其演算法往往給出求解路徑，而機械化則就其籌算過程而言。法國學者林力娜（Karine Chemla）透過大量細緻地文獻分析，指出該書及其劉徽注的數學問題、圖和棊等幾何工具以及算籌的實施，實際上都是展現演算法的工具，從而有力地證明了以《九章算術》為代表的中國古代數學是以演算法為中心的數學。

從世界數學史的角度來看，除了古希臘數學以外的其他數學文明都具有演算法傾向，丹麥數學史家休儒（Jens H?yrup）則進一步認為中國數學是所有文明中最重視演算法的。學界以往多認為《九章算術》具有實用性和社會性的特點，其實這一特點其他數學文明也均具備，唯有對算法的高度重視是中國古代數學獨特的，就此而言《九章算術》可視作一本理論數學著作。

《九章算術》卷一方田給出了籌算分數的計算法則和各種田面積的計算公式，其中有圓面積公式「半週乘半徑得積步」（即 ），這一公式巧妙地迴避了圓周率，故是完全準確的。卷二粟米給出了各種穀物的換算，其中提出“今有術”，即已知三個數求成比率的第四個數，這一算法在西方被稱作“三率法”。

卷三衰分是講各種物品的比例分配問題。

卷四少廣涉及到對土地的丈量和劃分，其中給出了用算籌開平方和開立方算法，這一方法在宋代發展成普遍地求任意一元高次方程數值解的算法，與現代數學中的牛頓法類似。

卷五商功是工程問題，涉及各種幾何體的體積計算問題，其中提出三種基本幾何體（即立方、塹堵和陽馬）以作為求解任意幾何體體積的基礎。所謂立方，就是正立方體；所謂塹堵，就是底面為等邊直角三角形的三棱錐，兩塹堵合成一立方；所謂陽馬，就是底面為正方形，一棱與底垂直的四棱錐，三陽馬合成一立方。

卷六均輸是關於稅金的比例分配問題。

卷七盈不足是透過兩次假設來解問題的演算法，該演算法在西方被稱為「雙重假設法」。又由於該法可以把任何問題理解成線性問題，進而求出解答，故也稱為萬能演算法。

卷八方程式是求解多元一次線性方程組的完整演算法，其中給出了涉及該問題時必須使用的正負術法則。例如第一個問：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。問：上、中、下禾實一秉各幾何。蒞曰：上禾一秉九鬥四分鬥之一，中禾一秉四鬥四分鬥之一，下禾一秉二鬥四分鬥之三。

按術列出如下方程，其解過程類似亦類似現代的矩陣方程解法。清末現代數學傳入中國以後，李善蘭借用古語「方程式」翻譯equation，實際上是改變了方程式的原意。

卷九勾股是講平面圖形的面積計算問題，其中給出了勾股定理及其各種變化形式。

給出演算法正確性的論證劉徽註《九章算術》

《九章算術》文本中只給出演算法，而沒有其正確性的證明，這一點在以往是被當作中國數學不如以《幾何原本》為代表的古希臘數學的證據。現代數學史研究顯示這一觀點是完全站不住腳的。

其一，除了古希臘數學以外的數學文明，往往只給演算法而沒有證明。故吳文俊先生認為數學史是算法傾向與演繹傾向兩大主題此消彼長形成的。

其二，文本中有沒有證明實際上是取決於文本的性質和所產生的語境，換言之文本中沒有證明不代表數學實踐中也沒有證明。

其三，林力娜等學者認為不應以古希臘的數學證明為證明的唯一形態，在其他文明中也有不同形態的證明。第二第三點剛好從劉徽注中可以獲得驗證。

魏景元四年（ 263 ），劉徽註解了《九章算術》，對大部分術文都給出其演算法正確性的論證。尤其是，在卷一對圓面積公式的證明、卷四對球體積公式的註解、卷五對陽馬體積的證明中用到極限逼近的推理方法，展現了極高的邏輯推理能力。在卷四求解球體積公式的過程中，劉徽發明出牟合方蓋，但卻無法求出其體積，故「以俟能言者」。這問題最後被祖沖之父子解決。劉徽對幾何問題的證明需用到圖（平面問題）和棊（立體問題），其推理原理被吳文俊總結為「出入相補原理」。

《九章算術》的影響與歷史地位

《九章算術》在唐宋均作為國子監算館的教科書。劉徽之後，唐李淳風、北宋賈憲、劉益、蔣週、南宋秦九鱘、楊輝、金李冶、元朱世傑等均沿著《九章算術》的路線發展中國古代數學，並使其在宋元時代達到一個高峰。明清時期，中國數學發展的主流改變，但《九章算術》的整體框架並未改變。日本數學則在中國宋元數學的基礎上發展出和算，在19 世紀時可以處理面積求和等微積分初等問題。

自李儼（1892-1963）、錢寶琮（1892-1974）先生開創中國數學史研究以來，《九章算術》及其後世的註解就作為中國數學成就的標誌性著作，但他們主要關注其中與現代數學可以相通之處。其實，《九章算術》中那些獨特演算法同樣是中國數學的偉大成就。兩者共同說明了中國數學歷史道路的獨特性和其歷史經驗的有效性。

吳文俊先生把中國古代數學的演算法理解成電腦的軟體、把算籌、算盤等工具理解成電腦的硬件，從而創造性地提出數學機械化的構想，這是中國古代數學「古為今用」的典範案例。

企劃製作

本片為科普中國·創作培育計劃扶持作品

出品丨中國科協科普部

監製丨中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

作者丨朱一文科學技術史博士，中山大學哲學系教授、博士生導師，邏輯與認知研究所專職研究員

策劃丨林林

責編丨林林鐘艷平

審校丨徐來