在高維空間中，有多少條線能以相同的角度成對分開？ 幾何學上的突破使人們對譜圖理論有了新的認識。 等角線是空間中通過一個點的線，其對角都是相等的。 想像一下二維的正六邊形的三條對角線，三維的正二十面體的六個對頂點的連接線（見圖）。 然而，數學家們並不把假設的情況局限於三維空間。

數學助理教授趙宇飛說：「在高維度上，事情真的變得很有趣，而且可能性似乎是無限的。 但根據趙和他的麻省理工學院的數學家團隊，他們並不是無限的，他們試圖解決這個關於高維空間中線的幾何問題。 這是一個研究人員已經困惑了至少70年的問題。 他們的突破性研究決定了可以放置的線條的最大可能數量，以便這些線條以相同的給定角度成對分開。

Xiaodong Zhao與麻省理工學院的一組研究人員一起寫了這篇論文，這組研究人員包括本科生Yuan Yao和Shengtong Zhang、博士生Jonathan Tidor和博士後Zilin Jiang。 Yao最近開始成為麻省理工學院的數學博士生，而江現在是亞利桑那州立大學的一名教師）。 ）他們的論文將發表在2022年1月的《數學年鑒》上。

等角線的數學可以用圖論進行編碼。 這篇論文為一個被稱為譜圖理論的數學領域提供了新的見解，它為研究網路提供了數學工具。 譜圖理論帶來了計算機科學中的重要演算法，如Google用於其搜尋引擎的PageRank演算法。

這種對等角線的新理解對編碼和通信有潛在的影響。 等角線是”球形編碼”的例子，它是信息理論中的重要工具，允許不同方面在一個嘈雜的通信管道上相互發送資訊，例如美國國家航空航太局與其火星車之間發送的資訊。

研究具有給定角度的最大數量的等角線的問題是在1973年P.W.H. Lemmens和J.J. Seidel的一篇論文中提出的。

普林斯頓大學數學教授諾加-阿隆（Noga Alon）說：”這是一個美麗的結果，為極端幾何學中的一個精心研究的問題提供了一個令人驚訝的答案，這個問題從60年代開始就受到了相當多的關注。 “

“當時有一些好的想法，但後來人們被難住了近三十年，”Zhao說。 幾年前，包括瑞士聯邦理工學院（ETH）蘇黎世分校數學教授Benny Sudakov在內的研究團隊取得了一些重要進展，當時Sudakov在組合學研究研討會上談到了他在等角線方面的工作。

Jiang在卡內基梅隆大學的前博士生導師Bukh Boris的工作基礎上受到啟發，開始研究等角線的問題。 Jiang和Zhao在2019年夏天組隊，並邀請Tidor、Yao和Zhang加入。

這項研究得到了Alfred P. Sloan基金會和國家科學基金會的部分支援。 Yao和Zhang通過數學系的本科生研究暑期專案（SPUR）參與了這項研究，而Tidor是他們的研究生導師。 他們的成果為他們贏得了數學系的Hartley Rogers Jr. 最佳SPUR論文獎。 “這是SPUR專案最成功的成果之一，不是每天都有一個長期的開放性問題得到解決的。”

解決方案中使用的關鍵數學工具之一被稱為譜圖理論。 譜圖理論告訴我們如何使用線性代數的工具來理解圖和網路。 圖的「頻譜」是通過將圖變成矩陣並查看其特徵值而獲得的。

“這就像你把一束強烈的光照在一個圖上，然後檢查出來的顏色的光譜，”Zhao解釋說。 “我們發現，發射的光譜永遠不可能過於集中在頂部附近。 事實證明，關於圖形光譜的這個基本事實從未被觀察到。 “

這項工作在光譜圖理論中給出了一個新的定理–有界度的圖必須具有亞線性的第二特徵值多重性。 該證明需要將圖的頻譜與圖的小片的頻譜聯繫起來的巧妙見解。